Recap Orbit Equation
지금까지 아래와 같은 관계식을 유도했다.
$$\vec{R_c} = 0$$
$$\epsilon = \frac{1}{2}v^2-\frac{\mu}{r}$$
$$\vec{H} = \vec{r} \times \vec{v}$$
$$\dot{\vec{r}} \times \vec{H} - \mu\frac{\vec{r}}{r} = \mu\vec{e}$$
$$r = \frac{H^2/\mu}{1+ecos(\nu)}$$
그리고 가정을 통해 질량 중심을 지구의 질량 중심으로 고정시켰다. 이때 질량 중심에 작용하는 가속도가 0인 것을 알고 있으므로 지구는 정지(공전하지 않음)해 있다. 즉, $\vec{r}$의 시작점은 움직이지 않으며, 원점에 고정되어 이다.
Conic-Section Geometry
궤도면의 기하학적인 특성을 바탕으로 방정식을 이끌어 낼 수 있다. 장반경이 a이고, 단반경이 b인 타원 궤도를 생각하자.
지구를 오른쪽 focus라고 하자. 궤도 방정식에 $\nu = 0, \pi$를 대입하면 원지점(a(1+e))과 근지점(a(1-e))의 크기를 알 수 있다. 타원의 성질을 이용하면 원점에서부터 초점까지의 거리가 ae라는 것을 알 수 있다. 이때 지구를 지나면서 근지점 벡터의 수직 인 위치의 거리를 p 라고 하자. 그러면 또 다른 초점으로부터의 거리는 2a-p가 된다.
Angular Momentum
우선 p에 대해 살펴보자. p는 궤도 방정식에 $\nu=0.5\pi$ 또는 $\nu=-0.5\pi$를 대입하여 구할 수 있다.
$$p=\frac{H^2/\mu}{1+ecos(0.5\pi)}=\frac{H^2}{\mu}$$
$$H=\sqrt{\mu p}$$
$$(2a-p)^2 = p^2+(2ae)^2$$
$$\rightarrow p=a(1-e^2)$$
$$\therefore H=\sqrt{\mu a(1-e^2)}$$
또한 각 운동량은 위치 벡터와 속도 벡터의 외적으로 구할 수 있다. 근지점(Perigee)에서 위치벡터를 $\vec{r_p}$라 하고 속도 벡터를 $\vec{v_p}$라고 하자. 근지점에서 위치 벡터와 속도 벡터는 수직이다. 그러므로 각 운동량을 아래와 같이 표현할 수 있다.
$$H=r_p v_p$$
Energy & Semi-major
위의 각 운동량 식으로부터 속도는 $v_p = \frac{H}{r_p}$로 나타낼 수 있다. 이때의 위치는 $r_p=a(1-e)$이다.
이제 이 관계식을 에너지 식에 대입해보자.
$$\epsilon = \frac{1}{2}v^2-\frac{\mu}{r} = \frac{1}{2}(\frac{H^2}{r_p^2})-\frac{\mu}{r_p}$$
$$=\frac{\mu a(1-e^2)}{2r_p^2}-\frac{\mu}{r_p}=\frac{\mu a(1-e^2)}{2(a(1-e))^2}-\frac{\mu}{a(1-e)}$$
$$=\frac{\mu (1+e)}{2a(1-e)}-\frac{\mu}{a(1-e)}=\frac{\mu (e-1)}{2a(1-e)}=-\frac{\mu}{2a}$$
즉 에너지는 오로지 장반경에 대한 함수로 나타낼 수 있다.
$$\frac{1}{2}v^2-\frac{\mu}{r}=-\frac{\mu}{2a}$$
Semi-major & Period
궤도면의 면적은 타원의 넓이와 동일하므로 $\pi ab$이다. 앞 글에서 면적 속도는 각 운동량의 절반과 동일하다고 유도했다.
$$A = ab\pi$$
$$\frac{dA}{dt} = \frac{H}{2} =$$
주기 T는 면적을 면적 속도로 나눈 것과 동일하다.
$$T = \frac{A}{dA/dt} = \frac{2\pi ab}{H} = \frac{2\pi a^2\sqrt(1-e^2)}{\sqrt{\mu a(1-e^2)}} = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}$$
$$T^2 = \frac{4\pi^2}{\mu}a^3$$
이것이 유명한 케플러 법칙 3법칙이다.
Kepler's Equation
앞서 미분 방정식을 풀 때 하나의 변수($\nu$)를 남겨두었었다. 기하학적인 성질을 통해 $\nu$를 유도할 수 있다.
Mean anomaly
궤도의 장반경을 반지름으로 하는 원이 있다고 하자. 그림과 같이 원 위의 임의의 점을 선택하자. 그 점과 초점이 이루는 호의 넓이는 $A_c$ 이다. 그리고 장축에 수선의 발을 내렸을 때, 궤도와 만나는 점과 초점이 이루는 호의 넓이를 $A_e$ 라고 하자. 이 도형은 가로 길이가 동일하므로 세로 길이의 비와 넓이의 비가 같다. 이때 타원과 원의 길이 비율은 장축과 단축의 비와 동일하므로 넓이비는 다음과 같다.
$$A_c:A_e = a:b$$
$$A_c=\frac{1}{2}a^2E-\frac{1}{2}a^2esinE=\frac{1}{2}a^2(E-sinE)$$
$$A_e=\frac{b}{a}A_c = \frac{ab}{2}(E-esinE)$$
또한 면적 $A_e$는 다음과 같이 표현할 수 있다. 위성이 근지점에 있을 때의 시간을 $T_0$라고 하면
$$A_e = \frac{dA}{dt}(t-T_0)=\frac{\pi ab}{T}(t-T_0)$$
$$=\frac{ab}{2}\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}(t-T_0)$$
$A_e$에 대한 두 식은 항등식 이므로
$$\frac{ab}{2}\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}(t-T_0)=\frac{ab}{2}(E-esinE)$$
$$\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}(t-T_0)=E-esinE$$
평균 각속도가 $n=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}$이므로 $\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}(t-T_0)$는 평균 변각(mean anomaly)이 되고 M이라고 표현한다.
$$M = n(t-T_0) = E-esinE$$
True anomaly
$\nu$를 true anomaly라고 한다. $\nu$와 $M$의 관계를 파악하기 위해 다시 기하학적 성질을 이용한다.
- 초점까지의 거리
$$ae = -rcos\nu + acosE$$
$$cosE = e+\frac{rcos\nu}{a}$$
여기서 $r=\frac{H^2/2}{1+ecos\nu}=\frac{a(1-e^2)}{1+ecos\nu}$를 대입하면
$$cosE = \frac{e+cos\nu}{1+ecos\nu}$$
$$cos\nu = \frac{e-cosE}{ecosE-1}$$
- 수직선 길이
타원 안쪽에 있는 수직선의 길이를 나타내보자. 오른쪽 삼각형으로부터 $l = rsin\nu$이다.
왼쪽 삼각형에서 비례관계를 이용하면 $l = bsinE$이다.
$$rsin\nu = bsinE$$
그러므로 관계식은 아래와 같다.
$$sinE = \frac{\sqrt{1-e^2}sin\nu}{1+ecos\nu}$$
$$sin\nu = \frac{(1+ecos\nu)sinE}{\sqrt{1-e^2}}$$
- 종합
$E$와 $\nu$의 관계식을 총 4개 유도했다. 이 관계식을 정리하면 아래와 같다.
$$tan\frac{1}{2}\nu=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}tan\frac{1}{2}E$$
$$n(t-T_0) = E-sinE$$
이 식을 통해 $\nu$를 알면 경과 시간 $(t-T_0)$를 알 수 있다. 마찬가지로, 경과시간 $t-T_0$를 알면 true anomaly를 알 수 있다.
이것으로 미분 방정식의 해를 모두 구했다.
To Do
궤도의 기하학적인 성질을 통해 에너지와 장반경, 주기의 관계를 유도했다. 이어서 시간 $t-T_0$와 true anomaly의 관계를 유도함으로써 미분방정식의 6개의 독립적인 해를 모두 구했다. 다음 시간에는 6개의 상태 벡터(위치, 속도)와 지금까지 구했던 관계식들을 사용하여 궤도 방정식을 정리할 것이다.
지금까지 구했던 미분방정식의 해 중 6개의 독립적인 요소는 궤도와 위성을 나타내는 상태 벡터가 된다. 당연하게도 위치 속도 벡터의 6개의 요소와 동일한 의미를 갖고 있어야 한다. 이 둘의 관계가 무엇인지 그리고 서로 어떻게 치환되는지 다음 글에서 다룰 예정이다.
