설명
Lambert's Problem은 궤도상의 임의의 위치 $r_1$에서 다른 궤도의 임의의 위치 $r_2$로 이동하기 위한 조건을 찾는 문제이다. 호만 천이와는 달리 근지점 혹은 원지점 기동이 굳이 필요 없으며 어느 위치에서도 궤도 수정 문제를 풀 수 있다.
문제 정의
문제를 간단히 하자.
중력의 중심(지구)이 $F_1$이고 위성의 초기 위치가 $\vec{r}_1$일 때 목표 위치 $\vec{r}_2$로 전이하기 위한 초기 속도를 구하는 문제가 된다.
위성의 속도를 구하기 위해선 전이 궤도의 몇가지 요소를 알아야 한다. 특히 장반경은 전이 궤도에 큰 영향을 주는 요소이다. 추후 나오겠지만 장반경, 전이 시간, $r_1+r_2$에 의해 속도가 결정된다. 일반적으로 $r_1, r_2$는 사전에 알고있는 정보이고 전이 시간은 목표하는 시간(인풋)이 된다. 이러한 경우, 전이 궤도의 장반경을 구하는 것이 lambert problem의 핵심이 된다.
전이 궤도의 초점 영역
전이 궤도가 어떤 식으로 그려지는지 살펴보자.
우선 전이 궤도의 두 초점 중 하나는 지구$(F)$이다.타원의 정의 (두 초점으로부터의 거리 합이 일정)를 이용하여 나머지 초점을 찾아보자.
전이 궤도의 장반경이 a인 경우 거리합은 2a이어야 한다. 그러므로 $r_1$을 중심으로 하고 반지름이 $2a-r_1$인 원과 $r_2$를 중심으로하고 반지름이 $2a-r_2$인 원의 교점이 나머지 초점이 된다. 아래 그림과 같이 그려지며 두번 째 초점은 $F_1$ 또는 $F_2$가 될 수 있다. 하나의 초점당 반시계, 시계 방향으로 전파가 가능하므로 장반경이 동일한 전이 궤도는 총 4개가 존재한다. 4개 중 주어진 조건(입력)에 맞도록 수식을 유도해 나갈 것이다. 그림은 초점이 $F_1$일때를 그린 것이다.
이번에는 장반경이 변할때 초점은 어디로 이동할지 살펴보자.
두 위치 $r_1, r_2$에 대하여 초점까지의 거리는 $2a-r_1, 2a-r_2$이다. 이때 이 두 길이의 차이를 보자.
$$(2a-r_1)-(2a-r_2)=r_1-r_2$$
즉 기하학적으로 두번 째 초점은, 두 위치벡터를 초점으로 하는 쌍곡선 위에 존재한다. 지구 F도 마찬가지로 이 쌍곡전 위에 있다.
전이 궤도의 최소 장반경
전이 궤도의 초점영역이 쌍곡선 영역으로 나타난다는 것을 알았다. 이 의미는, 가능한 전이 궤도가 어느정도 제한되어 있다는 의미이다. 이 의미를 어떻게 받아들이면 좋을까.
지금까지 푼 문제는 무추력 전파이다. 오로지 중력에 의해 전파가 이루어진다. 추력을 사용하면 당연하게도 모든 궤도로 전파가 가능하겠지만, 중력에만 의존하는 전파이기 때문에 제한되어 있을 수 밖에 없다.
기하학적으로 최소, 최대 장반경도 살펴볼 수 있다.
- 최대 장반경
최대 장반경의 경우, 초점이 쌍곡선에서 무한히 멀리 떨어져 있는 경우 이므로 무한이다.
- 최소 장반경
사실 최대 장반경의 경우 의미가 없다. 무한이기도 하고 전이 시간이 너무 오래걸리기 때문이다. 오히려 관심 있는 것은 최소 장반경 이다.
위의 그림을 다시 보자. 타원의 성질인 "두 초점까지의 거리 합이 장반경"임을 이용해 보자. $r_2$을 한 점으로 보았을 때, 전이 궤도의 장반경은 $r_2$ + 쌍곡선 위의 한점까지의 거리와 같다. $r_2$는 일정하므로, $r_2$에서 쌍곡선까지의 최소 거리가 되는 지점이 최소 장반경이 된다. 즉! 두 번째 초점이 선분 c를 잇는 선 위에 존재하는 경우가 최소 장반경이 된다.
이 경우 최소 장반경은 무엇일까? $r_1$과 $r_2$에서 각각 두 초점까지의 거리 합이 2a이므로 $4a_min = r_1+r_2+c$이다. 그러므로 전이 궤도의 최소 장반경은 삼각형 둘레의 1/4이 된다!.
이 사실은 Lambert's problem을 푸는데에 있어서 아주 중요한 기준이 된다. 기억하고 있기를 바란다.
- 기하학적 관계
앞서 전이 궤도의 초점은 두 원의 교점이고, 두 개라고 설명했다. 최소 장반경을 갖는 궤도의 경우도 마찬가지로 두 원의 교점이 초점과 같을 것이다. 그런데, 이 때 교점은 두 개가 아니라 한개이다. 기하학적으로 쉽게 파악할 수 있을 것이다. 여기까지 잘 따라왔다면, 전이 궤도의 기하학적 관계는 잘 이해했다고 볼 수 있다.
정리
이번 글에서는 Lambert's Problem의 개요에 대해 다루었다. 특히 기하학적인 부분에 대해 다루었으며 이 내용을 알고 있어야만 문제를 쉽게 풀어나갈 수 있다. 다음 글에서는 실질적으로 전이 궤도의 방정식을 유도할 것이다.
