궤도 역학이란, 우주비행체에 작용하는 만유 인력을 계산하여 비행체의 움직임을 해석하는 과목이다. 우주에서 비행체가 받는 힘은 추력 이외에 만유인력만 존재한다. 만유 인력은 질량을 가지는 물체 사이에서 작용하는 힘이며, 거리와 질량에 따라 힘과 방향이 달라진다. 그렇기 때문에 두 물체가 가까워질수록 힘이 커지며, 멀어질수록 힘이 작아진다. 또한 만유인력은 보존력 이기 때문에 에너지가 일정하다. 이러한 특성으로 인하여 두개의 물체 혹은 세개의 물체간의 운동은 특정한 궤도를 형성하게 되는데, 이 궤도를 수식화하는 방법을 앞으로 공부할 것이다. 이어서, 궤도를 수정하는 방법과 행성간 궤도를 전이하는 방법에 대해서 공부해 나갈 것이다.
1. Inertial Reference Frame
물체의 위치는 일반적으로 벡터로 정의한다. 흔히 사용해 왔던 유클리드 좌표계에서 $r=xi+yj+zk$로 정의할 수 있다. 이때 혹시 좌표계의 축$i,j,k$는 어디를 기준으로 정의되어 있는지 생각해 본 적 있는가? 나를 기준으로 정의되었을 수 있고, 특정 장소를 기준으로 정의되었을 수 도 있다. 이 기준에 따라 물체를 표시하는 좌표가 달라진다는 것은 쉽게 이해할 수 있다. 그럼 과연 우주 비행체는 무엇을 기준으로 위치를 정의해야 할까. 그 기준이 되는 좌표계를 Reference Frame이라고 부른다. Reference Frame을 정하는 것이 물체의 위치를 정의하는데 있어서 매우 중요하다는 사실을 느꼈을 것이다. 그럼 Reference Frame을 어떻게 정하는 것이 좋을까. 분명히, 가속하거나 회전하는 좌표계 보다는 정지해 있거나 일정한 속도로 움직이는 축을 기준으로 하는 것이 훨씬 더 편할 것이다. 일반적으로 Frame은 크게 두 가지로 나눠볼 수 있는데, 관성 좌표계와 비 관성 좌표계 이다.
Inertial Frame
관성 좌표계란, 회전하거나 가속하지 않는 좌표계를 뜻한다. 가속하지 않는다는 것은 좌표계가 정지해 있거나 일정한 속도로 움직인다는 것과 같다$($회전하는 좌표계에는 구심 가속도가 작용한다$)$. 이때 좌표계 안에서 움직이는 물체는 뉴턴의 제 2법칙인 관성 법칙 $F=m\frac{dv}{dt}$를 만족한다. 같은 의미로, 관성 좌표계는 관성력이 성립하는 좌표계 이다.
관성좌표계는 실제로는 존재하지 않는다. 지구가 자전하며, 태양계 또한 자전하고 있기 때문이다. 그러나 물체의 운동을 기술하기 위해 임의로 관성 좌표계를 설정한다. 지구를 기준으로 매우 멀리 있는 별은, 상대 위치가 거의 변하지 않기 때문에 관성좌표계의 축으로 설정할 수 있다. 즉, 별을 기준으로 관성 좌표계의 축을 설정하고 그 좌표계 안에서 비행체의 운동을 기술하게 된다.
관성 좌표계는, 회전하거나 가속하지만 않으면 임의로 설정할 수 있다. 임의로 3축을 정의하고 이를 기준으로 물체의 상대 운동을 기술할 수 도 있다. 우주의 행성들과 비행체는 모두 이러한 방법으로 상대 운동을 기술한다. 우리가 알고 싶은 것은, 지구로부터 비행체의 상대운동 이다. 그렇기 때문에 임의의 관성 좌표계를 설정하고, 이 좌표계 안에서 지구의 움직임과 위성체의 움직임의 정의하여 빼줌으로써 상대운동을 분석할 것이다.
non-Inertial Frame
비 관성 좌표계란, 관성 좌표계와 반대로 가속하거나 회전하는 좌표계이다. 그 예시로 인공위성 내부에서 움직이는 물체가 있다. 인공위성은 지구를 중심으로 회전하고 있기 때문에, 인공위성을 중심으로 한 좌표계는 회전하고 있다. 이 좌표계 안에서 움직이는 물체는, 가속하는 좌표계의 관성력에 의해 가상의 힘$($코리올리, 구심력 등$)$이 작용하는데 이로 인하여 F=ma의 관계가 성립하지 않는다. 이 관계를 만족시키기 위해선 관성 좌표계로 물체의 좌표를 변환해 주어야 한다. 즉, 비 관성 좌표계에 존재하는 물체의 운동을 해석하기 위해서 관성 좌표계가 필요하다.
대표적인 비 관성 좌표계는 아래와 같다. 자세한 내용은 아래 글을 참고하길 바란다.
- ECEF
- LLA
- NED
- Body
2023.03.07 - [Flight Dynamics and control] - 1. Reference Coordinate System and Transformations
1. Reference Coordinate System and Transformations
비행체의 상태를 표현하기 위해서 기준 좌표계가 필요하다. 기준 좌표계는 설정하는 사람마다 다를 수 있으나, 표현된 물체의 절대 위치는 동일해야 한다. 항공우주 공학에서 사용되는 대표적
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2. About Spacecraft
우주 비행체는 중력의 힘을 받으면서 질량체를 중심으로 원운동한다. 그런데 비행체에 작용하는 중력이 하나가 아니면 어떻게 될까? 실제로 우주에는 수많은 질량체가 존재하기 때문에, 지구 뿐만이 아니라 태양과 달, 그리고 그 외의 행성에 대해 중력이 작용한다. 이렇게 되면 비행체의 운동을 해석하기 어려워진다.
궤도 역학 초반에는, 문제를 단순화하기 위하여 하나의 중력원을 가정한다. 이는 태양, 달 그외의 천체력을 무시하는 것과 같다. 이 상황에서 궤도의 운동을 기술하는 방법과 궤도를 정의하는 방법을 학습한다. 사실 이러한 가정은 지구 궤도를 공전하고 있는 위성에는 타당하다. 지구 중력에 비해 천체력의 크기가 매우 작기 때문이다. 그렇기에 이러한 가정 속에서 지구 위성의 궤도를 분석하고, 기본적인 궤도 전이 기법을 다룬다.
이 가정을 사용하여 지구 뿐만 아니라 우주에서의 위성의 운동을 분석하는 기법이 있다. 수많은 중력원을 고려하기 이전에 우주에서의 궤도와 행성간 이동이 어떠한 매커니즘으로 일어나는지 학습한다.
위 내용을 공부하면 위성의 운동에 대해 익숙해져 있을 것이다. 이제는 좀 더 실제에 가까운, 중력원이 두 개 있을 경우를 가정한다. 이 경우는 중력원이 하나인 경우와는 달리 해석적인 해가 존재하지 않는다. 이 부분을 공부하기 이전에 수치 해석 기법과 수치 적분 기법을 공부하고 오는 것이 좋다.
이러한 순서로 궤도 역학을 정리할 예정이며 그 목차는 아래와 같다.
Summary
1. Two - Body Problem
- Modeling - Equation of Motion
- Classical Orbit Equation
- Kepler's Equation and Classical Orbit Elements
- Frams Transformation (ECI - PQW)
2. Earth-Satellite System
- Hohmann Transfer
- Inclination Maneuver
- Launch Rendezvous & Ground Track
- Relative Motion & Rendezvous
- Drag & Decay Time
- Earth Oblateness Effect & Solar Time
- Low Thrust Orbit Transfer - Lambert Problem
3. Interplanetary Trajectories
- Patched Conic Method & Basic Interpalnetary Trajectory
- Launch Windows and Mission Duration
- Planet Departure & Arrival
- Planetary Flyby
- Optimal Planetary Capture
4. Rendezvous and Docking
- Modeling - Relative Motion
- Clohessy-Wiltshire Equations
- Hill's Frame
- Motion in Hill's Frame
- RVD Phase and Trajectory Design
5. Three Body Problem
- Modeling - Equation of Motion
- Circular Restricted Three Body Problem
- Jacobi Constant and Lagrangian Point
- Direct Lunar Transfer
- Bullestic Lunar Transfer
