이번 글에서는 시스템의 안정성 분석에서 가장 중요한 Zero$($영점$)$와 Pole$($극$)$에 대해 공부할 것이다.
앞 글까지는 수렴하는 시스템만 다루었는데 실제로 그렇지 않는 경우가 더 많다. 그럼 수렴하는 시스템과 수렴하지 않는 시스템을 어떻게 알 수 있을까 그 지표가 Zero와 Pole 이다.
Pole
아래와 같이 입력이 U이고 출력이 X인 시스템이 있다.
이 시스템은 $X(s) = G(s)U(s)$라고 쓸 수 있다. 그리고 앞서 배웠지만 $G(s)$를 전달함수 라고 한다.
이 시스템의 전달함수가 다음과 같다고 하자.
$$G(s)=\frac{N(s)}{D(s)} = \frac{\omega^2}{s^2+2\zeta\omega s+ \omega^2}$$
이 시스템은 안정적인가? 지금은 바로 대답할 수 없을 것이다. 그러나 이번 글을 읽고 나면 바로 대답할 수 있을 것이다.
이 시스템의 해를 구해보자. 자세한 풀이 과정은 이전 글에서 자세하게 설명했으니 빠르게 건너 뛰겠다. 잘 모르겠다면 다시 보고 오기를 바란다.
이 시스템의 특성 방정식의 해는 $D(s)$와 동일하다. 즉, 방정식의 해는 s가 $D(s)=0$을 만족시키는 경우에 해당되었다. 그러므로 이 시스템의 특성 방정식의 해는 다음과 같다.
$$s = -\zeta\omega \pm j\omega\sqrt{1-\zeta^2}$$
이때 s값을 Pole이라고 부른다. Pole은 극점을 의미하는데 전달함수의 분모가 0이 되는 s값을 뜻한다 $($전달함수가 정의되지 않는 지점$)$. 사실 지금까지 Pole을 다루었었지만 이름을 붙이지 않았을 뿐이다.
Real Part of the Pole - 실수부
이때 동역학 시스템이 수렴하기 위한 조건은 Pole$($s$)$의 실수부가 음수일 경우 이었다. 즉, 어떤 시스템을 모델링했을 때 전달함수의 Pole의 실수부가 음수이어야 그 시스템이 수렴한다! 지금까지 잘 따라 왔다면 당연하게 느낄 것이다. 그러나 앞으로 공부함에 있어서 굉장히 중요한 사실이다. 복소 영역에 나타내면 다음과 같다.
그렇다면 이 시스템은 안정적인가?
$$G(s) = \frac{1}{S-3}$$
이 시스템의 Pole은 3이다. 오른쪽 반면에 존재하기 때문에 불안정할 것으로 예측할 수 있고, x가 목표값에 수렴하지 않고 발산할 것이다. 실제로 이런 시스템이 대부분이다. 그렇다면 이것을 어떻게 안정적으로 만들 수 있을까? 이 과정이 Feedback control이다. 자세한 이론은 다음 글에서 공부할 것이다.
Imaginary Part of the Pole - 허수부
Pole의 실수부 뿐만 아니라 허수부 또한 시스템의 안정성과 연관이 있다. 앞서 그래프를 통해 확인해 보았을 때, $\zeta$가 작아질수록 진동이 커지는 것을 보았고, 이는 수식적으로 보았을 때 Pole의 허수부$(j\omega\sqrt{1-\zeta^2})$가 커지는 것과 같다. 그러므로 Pole의 허수부는 진동을 의미한다. 그림으로 나타내면 아래와 같다.
위 점은 Pole : $s=-\zeta\omega+j\omega\sqrt{1-\zeta^2}$을 나타낸 것이다. 기하학 적으로 $sin(\theta)=\frac{\zeta\omega}{\omega}=\zeta$이고 특성방정식의 해는 켤례 복소근 이므로 실수축과 대칭인 부분에도 Pole이 존재한다.
기하학적으로볼 때 Pole이 왼반면에서 허수축으로부터 멀어질수록 감쇠가 빠르며 실수축에서 멀어질수록 진동이 심하다. 시스템이 안정하기 위해선 Pole의 실수부와 허수부가 적절한 균형을 이루어야 한다.
그러므로 일반적으로 $\zeta$가 0.707보다 큰 영역을 안정한 영역이라고 한다.
Zero
$$G(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$$
이때 Zero는 전달함수의 분자 부분이 0이 되는 s값을 의미한다. $N(s)=0$을 만족하는 s이다.
Open loop system에서 Zero는 출력값에 영향을 주는데, Zero의 위치에 따라 출력의 진폭과 위상차가 변한다. 시스템 해석에 있어서 Zero의 위치도 중요한 요소가 된다. 이는 Frequency Response에서 다룰 것이다.
feedback control을 하게 되면 Zero의 위치가 시스템 안정성에 영향을 준다. 이때 Zero는 Pole과 다르게 왼반면에 존재한다고 해서 무조건 안정한 것이 아니다. 그렇다고 해서 우반면에 존재한다고 불안정한 것이 아니다. Pole과 Zero의 위치의 관계가 중요해진다. 이와 관련된 이론은 Root Locus에서 다루도록 하겠다.
To do
지금까지 시스템을 모델링하고 Laplace Transform을 통해 해를 구하는 방법을 공부했다. 이어서 Transfer Function의 의미를 배웠고, Impulse Function과 Unit Step Function에 대한 출력을 공부했다. 이 과정에서 $\zeta$와 $\omega$에 따라 응답이 어떻게 달라지는지 그래프를 통해 확인해 보았고 Pole과 Zero를 정의함으로써 시스템이 수렴하기 위한 조건을 공부했다. 어떻게 보면 지금까지는 기본적인 용어에 대한 학습과 단위 힘에 대한 입출력, 그리고 시스템 안정 조건을 배웠다고 할 수 있다.
이 다음 글 부터는 좀더 일반적인 입력에 대한 출력을 공부할 것이다.
