이번 글에서는 시스템의 주파수 응답 특성에 대해 공부한다. 주파수 응답 특성이란, 시스템에 입력되는 주파수 대역폭에 대해서 출력의 크기와 위상차가 어떻게 변하는지에 대한 특성이다.
실제 환경의 데이터나 센서값에는 고 주파수 대역폭의 노이즈가 존재한다. 이러한 노이즈에 대해 시스템이 어떻게 반응하는지, 다시말해 노이즈가 증폭되는지 상쇄되는지 알아볼 것이다. 이를 활용하면 원하지 않는 데이터를 필터링 할 수 있고 그 시스템이 다양한 주파수 대역폭에 대해 어떻게 반응하는지 파악할 수 있다.
General System
모든 함수는 푸리에 정리에 의하여 exponential 함수로 표현할 수 있다. 그러기에 흔히 General input을 $u(t) = e^{st}$라고 표현한다. 이때 전달함수가 $H(s)$ 이고 출력이 $X(t)$인 시스템이 있다.
위의 두 시스템은 표현된 domain만 다를 뿐, 같은 시스템이다. Laplace 영역에서 $X(s) = H(s)U(s)$라고 표현한다.
Laplace 영역에서의 곱은 time 영역에서 convolution이므로 time 영역에서는 다음과 같이 표현한다.
$$x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)u(\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)u(t-\tau)d\tau$$
$$=\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)e^{st}d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)e^{st}e^{-s\tau}d\tau$$
$$=e^{st}\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)e^{-st}d\tau = e^{st}H(s) = H(s)u(t)$$
$$\therefore x(t)=H(s)u(t) \;!!$$
위 식은 time-domain과 s-domain에서 표현된 두 함수가 함께 표현된 식이다. 전달함수 $H(s)$만 알면 t-domain에서 $u(t)$에 대한 $x(t)$를 알 수 있다.
Frequency Response
$$x(t) = H(s)u(t)$$
위 식은 Frequency Response에서 굉장히 중요한 식이다. 이 식은 Frequency Response를 다룰 때 항상 생각해야 한다.
앞서 입력을 $u(t) = e^{st}$로 설정했었다. 이번에는 $u(t) = cos(wt)$라고 하겠다. 이 입력에 대해 위의 식을 적용하면 아래와 같다.
$$cos(wt) = \frac{e^{iwt}+e^{-iwt}}{2} \rightarrow s=\pm iw$$
$$x(t) = H(s)u(t) = \frac{1}{2}(H(iw)e^{iwt}+H(-iw)e^{-iwt})$$
$H(iw)$는 복소 함수이기 때문에 크기와 각도로 정의할 수 있다. $($공업수학에서 배운다$)$
$$H(iw) = |H(iw)|e^{i\phi}, \; \phi=\angle{H(iw)}$$
$$H(-iw) = |H(-iw)|e^{-i\phi}=|H(iw)|e^{-i\phi}, \; \phi=\angle{H(-iw)}$$
$$\therefore x(t) = |H(iw)|\frac{1}{2}(e^{i\phi}+e^{-i\phi})=|H(iw)|cos(wt+\phi)$$
$$=|H(iw)|cos(wt+\angle{H(iw)})$$
즉 입력 주파수가 w 일때 출력의 크기는 $|H(iw)|$이고 위상차는 $\angle{H(iw)}$이다. 이것이 Frequency Response의 핵심이다. 의미를 잘 파악해 두어야 한다.
Bode Plot
$$x(t)=H(s)u(t)$$
$$x(t)=|H(iw)|cos(wt+\angle{H(iw)})$$
다시 말하지만, 이 두 식은 매우 중요한 식이다.
출력의 Amplitude는 H에 대한 w의 함수이고 Phase 또한 H에 대한 w의 함수이다. 즉 함수 H를 알면 모든 주파수 w에 대하여 Amp와 Phase를 그래프로 나타낼 수 있다. 이 것이 Bode Plot이다.
H는 시스템의 전달함수 이었다. $0<w<\infty$에서 $|H(iw)|$와 $\angle{H(iw)}$를 표현해보자.
Example 1 - Low Pass Filter
$$H(s) = \frac{1}{s+1}$$
$$\begin{cases} |H(iw)| = \frac{1}{|iw+1|} \\ \angle{H(iw)}=\angle{1}-\angle{(iw+1)}=0-\angle{(iw+1)} \end{cases}$$
이때 w = 0일 경우 $|H(0)|=1, \angle{H(0)}=0$이다.
w가 커질수록 $|H(iw)|$는 감소하고 $\angle{H(iw)}$또한 감소한다.
w가 $\infty$에 가까워질수록 $|H(i\infty)|=0, \; \angle{H(i\infty)}=-90^\circ$에 수렴한다.
이를 그래프로 나타내면 아래와 같다.
그래프의 x축은 log-scale이고 y 축은 db, deg scale이다. scale이란 어려운 것이 아니라, 표기법만 다른것 뿐이다. 그래프를 보면 알 수 있듯이 Magnitude는 점점 작아지고 Phase는 0도에서 -90도로 작아진다.
이 시스템에 입력 주파수가 매우 커지면 출력이 어떻게 될까? Bode Plot에서 알 수 있듯이 크기는 매우 작아지고 위상차는 -90도가 생긴다. 주파수가 작으면 크기는 거의 동일하고 Phase는 거의 0도에 가깝다.
즉! 고주파 입력은 작게 만들고 저주파 입력만 그대로 통과시킨다.
센서로부터 측정한 데이터에는, 원하는 값과 환경으로부터 생긴 고주파 노이즈가 포함되어 있다. 이때 이 값을 위의 시스템의 입력으로 주면 어떻게 될까. 고주파 노이즈는 상쇄되고 워하는 값만 남게 된다. 이를 필터링 이라고 한다. 저주파만을 통과시키면 Low Pass Filter, 고주파만을 통과시키면 High Pass Filter라고 한다.
Bode Plot을 통해 시스템의 Frequency Response를 분석하면, 다양한 필터링을 시행할 수 있고 노이즈가 포함된 샘플링 데이터에서 원하는 값만 얻을 수 있게 된다.
고주파 노이즈가 포함된 샘플링 데이터를 $u(t)$라고 하자. 고주파 노이즈를 없애고 원하는 데이터를 얻기 위해 다음과 같이 LPF$($Low Pass Filter$)$를 설계하였다.
필터링된 데이터 y(t)는 state space representation을 통해 아래와 같이 구할 수 있다.
$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s+1}$$
$$\begin{cases} \dot{x} = -x+u \\ y=x \end{cases}$$
$$\dot{y} +y = u$$
$$\therefore y_{k+1}=y_{k}+\Delta t(u_k-y_k)$$
$$=(1-\Delta t)y_k+u_k\Delta t$$
$$y_1 = (1-\Delta t)y_0+u_0\Delta t$$
$$y_2 = (1-\Delta t)y_1+u_1\Delta t$$
$$\vdots$$
Example 2 - High Pass Filter
$$H(s) = \frac{s}{s+1}$$
어떻게 될지 예상해보기를 바란다.
$w \rightarrow 0$일 경우 $|H(0)|=0, \; \angle{H(0)}=90$
$w \rightarrow \infty$일 경우 $|H(i\infty)|=1, \; \angle{H(i\infty)}=0$
w가 $0 \rightarrow \infty$일 경우 $|H(iw)|$는 증가하고$\angle{H(iw)}$는 감소한다.
그러므로 Bode Plot은 아래와 같다.
Bode Plot을 보아 이 시스템은 High Pass Filter임을 알 수 있다.
Example 3 - Notch Filter
$$H(s) = \frac{s^2+25}{(s+5)^2}$$
이와 같은 시스템은 과연 어떻게 될까.
w = 0일 경우 $|H(0)|=1, \; \angle{H(0)}=0$
w=\infty일 경우 $|H(\infty)|=1, \; \angle{H(\infty)}=0$ 이다.
w가 $0 ~ \infty$ 사이에서는 Frequnecy Response가 어떻게 될까?
$s=5i$일때 $|H(5i)|=0, \; \angle{H(5i)}=0$이다. Bode Plot은 아래와 같이 그려진다.
Bode Plot에서 알 수 있듯이, 특정 주파수에 대해서만 Magnitude를 0으로 만든다. 그러므로 Notch Filter는 노이즈가 특정 주파수에 집중되어 있을 때 주로 사용한다.
To do
이번 글에서는 시스템의 전달함수를 통해 Frequency Response를 분석하고 Bode Plot에 대해 공부했다. Bode Plot을 그릴 때 w 가 $0~\infty$로 이동하면서 $|H(iw)|$와 $\angle{H(iw)}$를 구하였다. 이때 w가 0과 $\infty$에서는 확실하게 그릴 수 있었지만, w가 0과 $\infty$ 사이에서의 Bode Plot은 정확히 그릴 수 없었고 그리기 애매한 부분이 있었다.
그렇기 때문에 Bode Plot을 그릴 때 Zero와 Pole을 이용한다. 그렇게 되면 Bode Plot을 더욱 정확히 그릴 수 있다. 다음 글에서는 이 방법을 공부할 것이다.
