Two Body System
왼쪽 그림과 같이 우주 공간상에서 질량을 가진 두 물체가 있다. 두 물체는 행성과 행성이 될 수 도 있고, 위성과 행성, 발사체와 행성 모두 될 수 있다. 이때 두 물체 사이에는 만유인력이 서로 끌어당기는 방향으로 작용한다.
관성 좌표계에서 $m_1$과 $m_2$의 위치를 각각 $\vec{R}_1$, $\vec{R}_2$라 하고 무게 중심의 위치를 $\vec{R}_c$라고 하자. 이때 상대 위치는 $\vec{r}=\vec{R}_2-\vec{R}_1$으로 정의한다.
$m_1$을 지구라고 생각해보자. 우리가 알고 싶은 것은 $m_1$에서 바라본 $m_2$의 위치이다. 즉 상대 위치 이다. 우리는 이 시스템을 미분 방정식으로 모델링하여 해를 구해야 한다. 여기서 '해'란 시간에 대한 상대 위치와 상대 속도를 의미한다.이 시스템에는 두개의 물체가 존재 하기 때문에 각각 2차 미분 방정식으로 표현함으로써 6개의 독립적인 해를 구할 수 있다.$($각 물체는 Perfect Sphere로 가정한다.$)$. 즉, 2개의 3차원 벡터가 이 모델의 해가 될 것이다.
Dynamic System Modeling
물체에 작용하는 힘은 만유인력만 존재한다고 하자. 이때 미분 방정식은 아래와 같다.
$$ m_1\ddot{\vec{R}}_1 = \frac{Gm_1m_2}{|\vec{R_2}-\vec{R_1}|^2}\frac{\vec{R_2}-\vec{R_1}}{|\vec{R_2}-\vec{R_1}|} \cdots a \\ m_2\ddot{\vec{R}}_2 = \frac{Gm_1m_2}{|\vec{R_1}-\vec{R_2}|^2}\frac{\vec{R_1}-\vec{R_2}}{|\vec{R_1}-\vec{R_2}|} \cdots b$$
이는 $\vec{R}_1$과$\vec{R}_2$에 대하여 비선형 연립 미분 방정식이다. 이 방정식을 풀기 위해선 2가지 방법이 존재한다.
- Numerical Solution
- Linearization
Numerical Solution은 프로그래밍을 사용하여 $\vec{R}_1$과$\vec{R}_2$에 대한 초기 조건이 주어졌을 때 해를 구할 수 있는 방법이다. 그러나 우리는 수치적으로 해석하는 것이 아니라, 선형화를 통해 해를 구함으로써 이론적인 개념을 확장시키고자 한다.
Equation of Motion
위 미분방정식의 해$($6 componemts$)$를 구하기 위해 다음과 같은 방법을 사용한다.
- Motion of the Barycenter
$$m_1\ddot{\vec{R}}_1+m_2\ddot{\vec{R}}_2 =\frac{Gm_1m_2}{|\vec{R_2}-\vec{R_1}|^2}\frac{\vec{R_2}-\vec{R_1}}{|\vec{R_2}-\vec{R_1}|} + \frac{Gm_1m_2}{|\vec{R_1}-\vec{R_2}|^2}\frac{\vec{R_1}-\vec{R_2}}{|\vec{R_1}-\vec{R_2}|}=0$$
$$ \vec{R_c} = \frac{m_1\ddot{\vec{R_1}}+m_2\ddot{\vec{R_2}}}{m_1+m_2} = 0$$
$$\therefore \vec{R_c} = R_{c0}+V_{c0}t$$
이 관계식을 통해 질량 중심에 대한 방정식을 하나 얻을 수 있다. x, y, z요소로 분해하게 되면 독립적인 세개의 관계식이 된다.
이체 문제(Two Body Problem)에서는 $m_2$가 $m_1$보다 매우 작다고 가정한다. 즉 $m_1$이 곱해지는 항을 모두 무시한다. 이렇게 되면 질량중심의 위치는 $m_1$의 질량 중심이 된다. 또한 $m_1$에 작용하는 중력을 무시하기 때문에 $m_1$은 정지해 있다. ($m_1$이 지구이고 $m_2$가 위성이라고 생각하면 된다.)
이와 같은 가정을 통해 방정식의 해 중 3개의 components를 제외시킬 수 있다. (벡터의 중심을 지구 중심으로 고정시켰기 때문이다)
※ rf. 위 식을 통해 Center of Mass는 가속하지 않는다는 것을 알았다. 그렇다면 우리는 Center of Mass를 Reference Frame으로 정의할 수 있다 $($회전은 할 수 있다.$)$!
- Relative Motion
$\vec{r}=\vec{R}_2-\vec{R}_1$
$m_1m_2\ddot{\vec{R_2}} - m_1m_2\ddot{\vec{R_1}} = -\frac{Gm_1m_2(m_1+m_2)}{|\vec{r}|^3}\vec{r}$
이때 만유인력 상수 $\mu = G(m_1+m_2)$라고 정의하자.
$\therefore \ddot{\vec{r}} = -\frac{\mu}{|\vec{r}|^3}\vec{r}$
여기서 우리는 $\vec{r}$에 대한 비선형 미분방정식 하나를 구했다. 해를 구하면 $\vec{r}$의 3 components를 얻을 수 있고, 동역학 모델의 해를 모두 구하게 된다.
이 미분방정식의 해를 구하기 이전에, 에너지와 각운동량 관점에서 이 시스템을 분석해 보자.
Energy Conservation
에너지로 접근하기 위하여 양 변에 $\dot{\vec{r}}$을 내적한다.
$$\dot{\vec{r}}\cdot\ddot{\vec{r}}=-\frac{\mu}{|\vec{r}|^3}\dot{\vec{r}}\cdot\vec{r}$$
LHS : $\dot{\vec{r}}\cdot\ddot{\vec{r}} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}\dot{\vec{r}}^2)$
RHS : let $\begin{cases} \vec{r} = r\hat{e_r} \\ \dot{\vec{r}} = \dot{r}\hat{e_r} + (\vec{\omega})\times\vec{r}\end{cases}$
$$\dot{\vec{r}}\cdot\vec{r} = r\dot{r}$$
$$\therefore -\frac{\mu}{|\vec{r}|^3}\dot{\vec{r}}\cdot\vec{r}=-\frac{\mu}{|r|^2}\dot{r}=\frac{d}{dt}(\frac{\mu}{|r|})$$
$\downarrow$
$$\therefore \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}\dot{\vec{r}}^2)=\frac{d}{dt}(\frac{\mu}{|r|})$$
$$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}\dot{\vec{r}}^2-\frac{\mu}{|r|})=0$$
$$\frac{1}{2}\dot{\vec{r}}^2-\frac{\mu}{|r|}=constant$$
여기서 위의 각 항은 운동에너지와 퍼텐셜 에너지를 나타내며, 그러므로 이 시스템의 에너지는 보존된다.
시스템의 에너지를 $\epsilon=\frac{1}{2}v^2-\frac{\mu}{r}$라고 정의하자. 이는 scalar 방정식이 된다. 여기서 우리는 $v \in R$이고 $r>0,\; r \in R$이라는 것을 알 고 있다. 그렇다면 에너지 총량에 따라, 수학적으로 아래와 같은 관계를 갖는다
$From. \;\; v = \sqrt{(2\epsilon+\frac{2\mu}{r})} \in R$
$$ \epsilon>0 : r_{max}=\infty$$
$$\epsilon<0 : r_{max}= finite$$
$$ \epsilon=0 : Escape\; Condition $$
즉, 에너지 총량이 양수이면 지구 중력권을 벗어나 $r=\infty$ 까지 도달할 수 있으며, 음수이면 최대 $r=finite$ 의 지점까지 도달할 수 있다. 그리고 중력에 의해 다시 되돌아올 것이다. 탈출 조건은 $v=\sqrt{\frac{2\mu}{r}}$이다.
에너지 기법은 앞으로 자주 사용하게 될 기법이다. 한 질량체가 행성을 중심으로 공전하고 있을 때, 그 궤도의 모든 곳에서 에너지 총량은 보존된다. 추후에 배우겠지만 궤도 요소와 에너지 총량은 중요한 관계가 있다. 이 관계를 통해 구속 조건을 끌어낼 수 있으므로, 에너지 개념을 확실히 해두어야 한다. 일반적으로, 공전하는 위성의 에너지 총량은 음수이다.
Anguler Momentum
양 변에 $\vec{r}$을 외적한다.
$$\vec{r}\times\ddot{\vec{r}}=-\frac{\mu}{r^3}\vec{r}\times\vec{r}=0$$
$$=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\dot{\vec{r}})=\frac{d}{dt}(\vec{H})$$
$$\therefore \vec{H} = constant$$
이때 $\vec{H}$는 $\vec{r}, \dot{\vec{r}}$과 수직한 벡터이다. 즉, $\vec{H}$가 일정하다 라는 뜻은, 궤도는 평면상에 존재하며 $\vec{H}$는 normal vector 방향이 된다는 뜻이다. $\vec{H}$의 크기는 다음과 같다.
$$\vec{r} = r\hat{e_r} \\ \dot{\vec{r}}=v_r\hat{e_r}+v_t\hat{e_t}$$
$$H = rv_t$$
- Areal Velocity
$$dA = \frac{1}{2}rv_tdt=\frac{1}{2}Hdt$$
$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}H=constant$$
그러므로 면적 속도는 일정하다.
To Do
이번 글에서는 두 질량체 사이에 작용하는 만유인력 시스템을 모델링하고 해를 구하는 과정을 공부했다. 지금까지는 무게중심의 위치 벡터에 대한 3 components를 처리했으며, 아직 상대 위치에 대한 3 compeonets는 구하지 않은 상태이다.
해를 구하기 이전, 에너지 관점에서 $r_{max}$가 어떻게 될지 예측해 보았으며, 탈출 조건에 대해 공부했다. 이어서 각 운동량이 궤도 평면의 normal vector 방향을 가지며, 그 크기는 $rv_t$로 일정함을 보았다. 에너지와 각 운동량 조건은, 남은 미분방정식의 해를 구하기 위해 사용해야 하는 조건들이다. 다음 글에서는 미분방정식의 해를 구함으로써 Orbit Equation을 구하고 궤도를 정의하는 방법에 대해서 공부할 것이다.
