Orbit Equation
앞글에서 남겨두었던 미분방정식을 가져오자.
$$\ddot{\vec{r}}=-\frac{\mu}{r^3}\vec{r}$$
미분방정식의 해는 $\vec{r(t)}$이고, 시간에 따른 $\vec{r}$를 그리면 궤도를 형성할 것이다. 그런데, r에 대한 벡터성분을 하나하나 알 필요가 있을까?
우리는 앞 글에서 $\vec{H}$를 구했다. $\vec{H}$가 궤도 평면의 normal vector를 의미하므로 r 벡터 대신 궤도 평면에서의 r의 크기과 회전 각을 구해도 된다. 그러므로 우리의 목표는 위 미분 방정식에서 스칼라 방정식을 찾아내는 것이다.
Eccentricity Vector
양 변에 anguler momentum $\vec{H}$를 외적한다.
$$\ddot{\vec{r}}\times\vec{H}=-\frac{\mu}{r^3}\vec{r}\times\vec{H}$$
이때 왼 변은 아래와 같이 변환할 수 있다.
$$\frac{d}{dt}(\dot{\vec{r}}\times\vec{H})=\ddot{\vec{r}}\times\vec{H}+\dot{\vec{r}}\times\dot{\vec{H}}$$
이때 anguler momentum은 일정하므로, 미분값은 0이 된다.
$$\therefore \ddot{\vec{r}}\times\vec{H}=\frac{d}{dt}(\dot{\vec{r}}\times\vec{H})$$
오른변은 아래와 같이 계산할 수 있다.
$$\vec{r}\times\vec{H}=\vec{r}\times(\vec{r}\times\dot{\vec{r}})$$
벡터의 3중적 계산은 $A\times(B\times C) = B(A\cdot C)-C(A\cdot B)$ 이므로
$$\vec{r}\times(\vec{r}\times\dot{\vec{r}})=\vec{r}(\vec{r}\cdot\dot{\vec{r}})-\dot{\vec{r}}(\vec{r}\cdot\vec{r})$$
$$=\vec{r}(r\dot{r})-\dot{\vec{r}}(r^2)$$
$$\therefore -\frac{\mu}{r^3}\vec{r}\times\vec{H} = -\frac{\mu}{r^2}\vec{r}\dot{r}-\frac{\mu}{r}\dot{\vec{r}}=-\frac{d}{dt}(\mu\frac{\vec{r}}{r})$$
그러므로 미분 방정식은 아래와 같다.
$$\frac{d}{dt}(\dot{\vec{r}}\times\vec{H})=\frac{d}{dt}(\mu\frac{\vec{r}}{r})$$
$$\frac{d}{dt}(\dot{\vec{r}}\times\vec{H}-\mu\frac{\vec{r}}{r})=0$$
$$\dot{\vec{r}}\times\vec{H}-\mu\frac{\vec{r}}{r}=\vec{B} = const$$
이때 방정식의 차원에 따라 $\vec{B}$는 $\mu$의 차원을 갖는다. 그러므로 $\vec{B}$를 무차원화하여 $\vec{e}=\frac{\mu}{\vec{B}}$로 나타낸다.
$$\dot{\vec{r}}\times\vec{H}-\mu\frac{\vec{r}}{r}=\mu\vec{e}$$
이때 $\vec{e}$는 무엇을 나타내는 벡터일까? 하나씩 살펴보자.
우선 $ \dot{\vec{r}}\times\vec{H} $는 속도와 각운동량의 외적으로, 항상 궤도의 normal 방향과 동일하다. 그리고 $\mu\frac{\vec{r}}{r}$는 궤도의 중심 물체로부터 비행체까지의 방향을 나타내는 unit vector이다. 이때 $\mu\vec{e}$는 이 두 벡터의 차이가 될 것이다. 그런데! $\mu\vec{e}$는 constant이다. 즉, 비행체가 근일점에 있을 때를 생각해보면, 두 벡터의 차이가 근일점 방향이라는 것을 알 수 있고, 따라서 $\vec{e}$는 궤도의 근일점 방향을 나타내는 벡터임을 알 수 있다. 이때 $\vec{e}$의 크기는 이심률을 나타내며, $\vec{e}$를 eccentricity vector라고 한다.
Classical Orbit Equation
이어서 양 변에 $\vec{r}$을 내적한다.
$$\vec{r}\cdot(\dot{\vec{r}}\times\vec{H}-\mu\frac{\vec{r}}{r})=\vec{r}\cdot\mu\vec{e}$$
$\vec{r}$과 $\vec{e}$가 이루는 각도가 $\nu$라고 한다면
$$=\vec{r}\times\dot{\vec{r}}\cdot\vec{H} - \mu r = \mu r ecos(\nu)$$
이때 $\vec{r}\times\dot{\vec{r}}=\vec{H}$ 이므로
$$H^2 = r\mu(1+ecos(\nu))$$
이 식을 r에 대해 표현하면 아래와 같다
$$\therefore r = \frac{H^2/\mu}{1+ecos(\nu)}$$
이 식을 궤도 방정식 이라고 한다.
이 궤도 방정식은 r에 대한 스칼라 방정식이다. 엄밀하게 따지면, 시간에 대한 방정식이다. $\nu$와 $r$이 시간에 따라 변하기 때문이다. 여기서 H는 각운동량의 크기, e는 이심률 이다. 이 두 값은 초기값 $\vec{r}$과$\dot{\vec{r}}$을 통해 구할 수 있다.
지금까지 방정식을 풀어 무게중심과 더불어 $\vec{H}, \vec{e}$를 구했다. 변수 하나$\nu$에 대한 방정식을 더 찾게 되면, 해석적인 해를 구할 수 있다.
이제 Two Body Problem을 풀기 위해 남은 것은, 시간에 대한 $\nu$의 함수를 구하는 것이다. 이는 다음 글에서 다루도록 할 것이다. 그 전에 궤도의 모양을 살펴보도록 하자.
Shape of Orbit
과연 궤도 방정식이 타원형 궤도만을 나타낼까?
이심률 e에 따라 궤도의 형태를 생각해보자. e=0이라면 $r=\frac{H^2}{\mu}$로 일정하다. 즉 원궤도를 형성한다.
$$e = 0 : \text{Circular Orbit}$$
0<e<1인 경우엔 Elliptical Orbit을 형성한다.
e = 1 경우 Parabola Orbit을 형성한다. 이때 $r_{max}=\infty$인 타원 궤도를 형성한다. 즉 원지점이 무한히 멀리 떨어져 있는 공전 궤도가 그려진다.
그렇다면 만약 이심률이 1보다 커지게 되면 어떻게 될까. 더이상 타원 궤도를 유지하지 못하고 쌍곡선 형태의 궤도가 형성된다.
이때 공전하는 물체의 실제 궤도는, 중심물체쪽에 있는 곡선에 해당하고 반대쪽에 있는 곡선은 가상의 궤도에 해당한다. 이 궤도가 과연 어떤 의미일까. 나중에 하겠지만, 중심 물체를 탈출할 수 있는 충분한 에너지를 가지고 있는 비행체가 해당 질량체를 지날 때 이와 같은 궤도를 형성한다는 뜻이다. 즉 에너지가 양수이면 이심률이 1보다 크다. 반대로 에너지가 음수이면 이심율을 1보다 작다.
$$\begin{cases} e=0 : \textit{Circular Orbit} \\ 0<e<1 : \textit{Elliptic Orbit} \\ e=1 : \textit{Parabola Orbit} \\ e>1 : \textit{Hyperbola Orbit} \end{cases}$$
To Do
이번 글에서는 두 질량체의 Relative Motion에 대한 해를 풀고 궤도 방정식을 구하였다. 아직 시간에 대한 $r$은 구하지 않았으나, r에 대한 스칼라 방정식을 끌어낼 수 있었고 궤도의 근지점방향을 향하는 eccentricity vector를 정의하였다. 그리고 이심률에 따라 궤도의 모양이 어떻게 달라지는지 확인하였다. 다음 글에서는 궤도의 기하학적인 특징을 살펴보고, 시간에 대한 $\nu$값을 구해 미분방정식의 최종적인 해를 구할 것이다.
